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素数大概有多少个 20素数还有多少个最大的是多少

徐晓亚然

15岁的高斯仅仅通过素数表归纳统计提出的素数猜想,让数学界钻研了百年才得到证明!这就是著名的素数定理。

记得有一个数学家隐藏了他的手稿没有发表,有人说他的隐藏让数学倒退了几十年。

欧拉也发现了这个规律,勒让德证明了这个公式之后高斯才说他早就研究过这个,只是没有发表出来,因为他是高斯,所以大家都相信他说的是真的。

很多时候一门学科的兴起和衰落都有着特定的历史背景,其实很少有一些始终如一很火爆的领域出现,数学领域也是这样子。但是有一个数学科目却是几千年来从未冷却下去,这门学科贯穿着整个数学的发展史,这就是数论。

说到数论,也就是研究一个整数的性质。哪一类整数最让人着迷呢,当然是素数了。奇怪的是迄今为止,人们对于素数的应用却是很少很少,但是这丝毫没有打消人们想要研究的念头。也许对于数学没有目的的研究才是真正应该做学问的态度吧。

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高斯大神

几乎所有的数学家多多少少都研究过素数,从遥远的欧几里得,阿基米德,再到中世纪的斐波那契,然后再到文艺复兴时代的数学大师们。当然,高斯这位大神也对素数极度痴迷,从他十几岁开始就研究,并且得出了重大的成果。

然而,素数这个问题却不是你研究时间长,研究人员多,就一定可以出成绩的,这个跟现在的科研有着显著不同。数学的发展史就是一部气势磅礴的素数研究史,但是深究下去,你更加会发现,很多素数的简单到孩童都理解的问题都一直没有突破。比如,是否存在无穷多组间隔为2的素数对,任意一个大偶数都是两个素数的和。。。

高斯在1792年研究过一个关于素数的重大问题。

一个自然数N以内的素数到底有多少个?

这是一个相对来说弱化了的问题,比起那些一个劲就要找到素数公式的方向显然要柔和得多,正是因为这个问题不是那么强劲,所以这个问题的研究才有可能得到了充分的成果。

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纳皮尔与对数

1792年,高斯多少岁了?仅仅15岁,他的数学天赋已经开始有了恐怖的发挥了。少年时期的高斯有一本对数书,也就是纳皮尔编的那套对数表。然而这部内容相当枯燥的工具书最后几页藏着一个彩蛋,这是一张素数表,大概就是依次把某个范围内的所有素数都罗列在上面,方便人们进行素数方面的研究。高斯对着素数有着超乎常人的痴迷,他在这个素数表的基础上,统计了一些规律。分别计算了某个范围内,素数的个数是多少。

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100亿以内素数个数

事实上,我很怀疑这张表是后人杜撰出来的,这里最大的一个范围已经到了100亿了,在18世纪末的人类应该很难能获得100亿内的全部素数吧。不过即使这张表是后人造出来的,也不妨碍高斯的伟大成就。

N是某个具体的自然数,π(N)是实际上小于等于N的全部素数个数,右边是“相邻素数间隔的平均值”。这里,我们要注意最右边的这一列数值的意义所在,所谓相邻素数间隔的平均值,实际上也就是平均要数过多少个自然数才会遇到一个素数。换句话说,在1000以内,素数占到了1/6,在100亿内,素数大约占到1/22。这个通过统计得到的规律非常重要,高斯对于素数个数的猜测都是来自于这一列数据。

p(x)与真实π(x)的差距

这里的N从上到下是10倍的速率增长,而相邻素数间隔的平均值却没有以指数增长,甚至还基本上稳定在某个数值附近。实际上,这个也符合我们对于素数分布的直观感受。我们早就知道素数是无限多的,随着数值的增大,素数之间的距离会越来越大,分布也就会越来越稀疏。但是

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